Géométrie des problèmes de multiplicité et équisingularité dans un idéal / par Romain Bondil ; sous la direction de Dũng Tráng Lê

Biblior. p. 181-186

Thèse de doctorat mathématiques 2002 Aix-Marseille 1

On doit à P. Samuel la définition moderne de la multiplicité e(I, R) d'un idéal m-primaire I dans un anneau local (R,m), à partir de ce que l'on appelle son polynôme de Hilbert-Samuel, ainsi que l'introduction d'éléments ƒ [élément de] I dits "superficiels" vérifiant la propriété e(I/(ƒ),R/(ƒ)) = e(I,R). Le premier chapitre de cette thèse s'intéresse à une formulation géométrique de la notion d'élément superficiel dans l'"éclatement" de Spec R le long de I (non nécessairement m-primaire), comme une propriété de la "transformée faible" de ƒ. On y donne un glossaire entre les propriétés formulées dans le langage de l'algèbre commutative et les propriétés géométriques, et on utilise ensuite des méthodes géométriques pour donner une nouvelle caractérisation des éléments superficiels équivalente à un théorème de D. Kirby. Dans le deuxième chapitre, on introduit la notion d'élément v-superficiel, qui est un affaiblissement naturel de la notion d'élément superficiel. On montre, suivant Flenner et Vogel, le lien exact existant entre cette notion géométrique et la conservation de la multiplicité en passant de I à I/(ƒ), si I est m-primaire. On introduit aussi la notion d'élément v°-superficiel qui est une condition géométrique sur un élément ƒ [élément de] I équivalente au fait de pouvoir compléter ƒ en une suite définissant une "réduction" de l'idéal I. Dans le cas où I est m-primaire ces deux notions coïncident, ce qui donne par exemple très simplement le théorème célèbre de D. Rees reliant multiplicité et clôture intégrale. On illustre aussi le comportement de ces notions pour les idéaux non m-primaires. Dans le troisième chapitre, on se restreint au cas des anneaux locaux de surfaces complexes normales. On étudie alors "l'équisingularité dans un idéal m-primaire" I au sens de la constance du nombre de Milnor défini pour toute courbe complexe réduite par Buchweitz et Greuel. L'arsenal technique du chapitre 2, et des propriétés de résolution simultanée faible permettent de caractériser géométriquement les éléments de I de nombre de Milnor minimum : le résultat principal est que la condition sur le nombre de Milnor entraîne la v-superficialité. Ce résultat est à rapprocher d'un théorème de B. Teissier dans un contexte différent ("[mu] constant" entraîne "[mu]* constant" pour les sections hyperplanes d'une hypersurface). La deuxième partie de la thèse illustre comment appliquer les propriétés des familles de courbes sur une surface dans l'esprit de ce qui précède à l'étude de la résolution des singularités des surfaces : on y donne une méthode nouvelle pour comprendre la résolution des surfaces par éclatements normalisés, en se ramenant à l'étude de propriétés des singularités "minimales" au sens de Kollár