Cohomology of Siegel varieties / Abdellah Mokrane, Patrick Polo, Jacques Tilouine

Notes bibliogr.

Cohomologie des variétés de Siegel
Cette monographie traite de la question de la torsion dans la cohomologie des variétés de Shimura, à coefficients dans $ \mathbb Z_p$ ou, plus généralement, dans un certain système local $V_\lambda $ de $ \mathbb Z_p$-modules plats. Son objet est d'établir, pour les variétés de Siegel, que la localisation de cette cohomologie en un idéal maximal de type non-Eisenstein $ \mathfrak m$ de l'algèbre de Hecke $ \mathbb T$ n'a pas de p-torsion ($p = \mbox {\rm char}( \mathbb T/ \mathfrak m)$), pour p plus grand qu'une certaine borne explicite $c(\lambda )$ qui ne dépend que du plus haut poids $\lambda $ du système de coefficients. En outre, cette localisation tue la cohomologie du bord.

On donne deux applications arithmétiques de ce résultat. L'une concerne les familles de Hida de systèmes de valeurs propres de Hecke, l'autre constitue une étape importante dans la construction de certains systèmes de Taylor-Wiles pour les groupes symplectiques.

Un ingrédient de la preuve est une version sur $ \mathbb Z_p$ de complexes de Bernstein-Gelfand-Gelfand et d'un théorème de Kostant, calculant la $ \mathfrak n$-homologie du module de Weyl $V_\lambda $, pour p plus grand que la borne ci-dessus (ce qui implique que $\lambda $ appartient à l'adhérence de la p-alcôve fondamentale). (SMF)