Random trees, Lévy processes and spatial branching processes / Thomas Duquesne, Jean-François Le Gall

Réf. bibliogr.

Arbres aléatoires, processus de Lévy et processus de branchement spatiaux
Nous étudions la structure généalogique de processus de branchement critiques ou sous-critiques à espace d'états continu. De manière analogue au codage d'un arbre discret par son contour, cette structure généalogique est codée par un processus aléatoire appelé le processus des hauteurs, qui est lui-même construit comme une fonctionnelle de type temps local d'un processus de Lévy sans saut négatif. Nous présentons une étude détaillée du processus des hauteurs et d'un processus à valeurs mesures associé appelé le processus d'exploration. Sous des hypothèses convenables, nous montrons que si une suite de processus de Galton-Watson convenablement changés d'échelle converge en loi, leurs généalogies convergent aussi vers la structure de branchement codée par le processus des hauteurs. Nous appliquons ce principe d'invariance à divers théorèmes limites pour les arbres de Galton-Watson. A l'aide des propriétés de dualité du processus d'exploration, nous calculons la loi de l'arbre réduit associé à des marques poissonniennes dans le processus des hauteurs, et les lois marginales de dimension finie de l'arbre continu stable. Ce dernier calcul généralise au cas stable un résultat d'Aldous pour l'arbre brownien continu. Finalement, en combinant la structure généalogique avec un déplacement spatial, nous développons une nouvelle approche des superprocessus avec un mécanisme de branchement général. Dans ce cadre, nous obtenons certaines distributions explicites, dont celle de l'arbre spatial réduit dans un domaine, qui décrit toutes les trajectoires historiques ayant atteint la frontière. (SMF)