Marches aléatoires sur un amas de percolation / Clément Rau ; sous la direction de Pierre Mathieu

Bibliogr.

mathématiques 16 octobre 2006 université de Provence Thèse de doctorat

Dans cette thèse, on s'intéresse à une marche aléatoire simple
sur un amas infini issu d'un processus de percolation surcritique sur les arêtes de \Zd (d≥2) de loi Q. On étudie des
transformées de Laplace de certaines fonctionnelles des temps locaux de cette marche. Dans une première partie, on s'intéresse au cas particulier de la transformée de Laplace du nombre de points visités au temps n, noté Nn. On montre notamment que cette quantité a un comportement similaire au cas où la marche évolue dans \Zd. Plus précisément, on établit que pour tout 0<α<1, il existe des constantes Ci, Cs>0 telles que pour presque toute réalisation de la percolation telle que l'origine appartienne à l'amas infini et pour n assez grand,
e−Cindd+2≤\Eω0(αNn)≤e−Csndd+2.

Dans une seconde partie, on généralise ce type d'estimées pour d'autres fonctionnelles. Dans ce type de problème, le point principal du travail réside dans l'obtention de la borne supérieure. Notre approche consiste dans un premier temps, à trouver une famille d'inégalité
isopérimétrique sur l'amas infini, et dans un deuxième temps à la remonter sur un produit en couronne, ce qui nous permet
alors d'obtenir une majoration de la probabilité de retour d'une certaine marche sur ce produit en couronne. L'introduction d'un produit en couronne est justement motivée par le fait que la probabilité de retour sur un tel graphe peut s'interprèter comme l'espérance de la transformée de Laplace de certaines fonctionnelles des temps locaux pour un bon choix des fibres.
Enfin, dans la dernière partie, il est expliqué en détail et de manière générale, en suivant la stratégie d'A. Erschler, comment obtenir une inégalité isopérimétrique sur un produit en couronne de deux graphes à partir d'inégalité isopérimétrique de chacun des deux graphes.