Propriétés de moyenne pour les fonctions M-harmoniques / par Cyrille Domenichino ; sous la direction de Jacqueline Détraz

Bibliogr. en fin de volume

Thèse de doctorat mathématiques 1999 Aix-Marseille 1

Le sujet de cette thèse est l'étude de quelques aspects de la théorie des fonctions M-harmoniques sur la boule B unité de Cn, qui sont les fonctions harmoniques par rapport à l'opérateur de Laplace-Beltrami associé à la métrique de Bergman de B. Ce dernier est un opérateur du second ordre, invariant par les automorphismes de B et dont l'ellipticité dégénère au bord de B. Les fonctions M-harmoniques sont les fonctions qui possèdent les propriétés de valeur moyenne invariante planaire ou sphérique sur toutes les boules ou sphères géodésiques de la métrique appelées de «Bergman». L'objectif est d'établir des résultats analogues à ceux connus dans le cas euclidien pour les fonctions harmoniques. Dans une première partie, notre travail a porté sur la caractérisation de ces boules en termes de propriétés de moyenne sphérique invariante. Nous avons montré par des arguments de théorie du potentiel invariant sur B que les boules de «Bergman» sont les seuls domaines relativement compacts de B, pour lesquels la propriété de moyenne invariante dans la métrique sur le bord du domaine est vérifiée en un point par toutes les fonctions M-harmoniques sur un voisinage du domaine. Pour cela, il est établi une propriété de saut sur le bord du domaine de la dérivée normale dans la métrique du potentiel invariant simple couche. Ensuite, par des techniques pluripotentielles et d'équations aux dérivées partielles, nous avons étudié le problème de «Hele Shaw» pour les fonctions M-harmoniques montrant ainsi qu'il existe des domaines de B autres que les couronnes, tels que le point 0 appartienne à une composante connexe bornée de leur complémentaire et pour lesquels les fonctions M-harmoniques au voisinage de leur enveloppe simplement connexe, prennent pour valeur moyenne invariante sur le domaine la valeur en zéro. Enfin, nous avons complété notre travail par la résolution du problème de «Pompeiu», concluant ainsi à la M-harmonicité de toutes les fonctions qui vérifient la propriété de moyenne invariante en tout point de B sur deux boules de «Bergman» de rayons fixés