Algorithmes adaptatifs en ondelettes pour la résolution d'équations aux dérivées partielles / par Guillaume Chiavassa ; Sous la direction de Jacques Liandrat

Bibliogr. p. 187-190

mécanique des fluides 1997 Aix-Marseille 2 Thèse de doctorat

Nous présentons dans cette thèse différents travaux relatifs a l'utilisation des bases d'ondelettes dans les algorithmes de résolution numérique d’équations aux dérivées partielles. Dans un premier temps, une construction de bases orthonormées d'ondelettes satisfaisant a des conditions aux limites homogènes est mise au point. Ces bases peuvent être utilisées pour imposer des conditions aux limites essentielles dans les méthodes de résolution d’équations de type Galerkin. Dans un deuxième temps, toutes les étapes d'un algorithme adaptatif permettant la résolution d’équations paraboliques non-linéaires sont détaillées. Les espaces d'approximation permettant de représenter la solution sont engendres a partir de séries lacunaires d'ondelettes. Les opérateurs d’évolution temporelle ainsi que les opérateurs non-linéaires sont évalués de façon totalement adaptative, c'est-a-dire a partir d'algorithmes dont la complexité est proportionnelle en nombre d’opérations et en place mémoire a la dimension des espaces d'approximation. Aucune limitation quant a l’échelle spatiale la plus fine utilisée dans cet algorithme ne doit être imposée en pratique. Une étude de convergence théorique, vérifiée sur des exemples numériques, fait apparaitre un couplage entre les erreurs provenant de la discrétisation temporelle et de la discrétisation spatiale, conduisant a l'existence d'un pas de temps optimal. Enfin, l'algorithme est applique a l’équation de Burgers avec très faible coefficient de viscosité (10#-#7) ainsi qu'a une équation de réaction-diffusion. Malgré les très grandes variations d’échelle spatiale de la solution, les résultats restent très précis