Convergence en loi d'EDS et d'EDS rétrogrades : application à l'homogénéisation d'EDP linéaires ou semilinéaires / par Guillaume Gaudron ; sous la direction de Etienne Pardoux

Bibliogr. p. 97-99

Thèse de doctorat mathématiques appliquées 1998 Aix-Marseille 1

Certaines solutions d'EDP paraboliques ou elliptiques, linéaires ou semi-linéaires, peuvent s'obtenir par l’intermédiaire de processus stochastiques solutions d'EDS. Le but de cette thèse est de combiner ces formules probabilistes avec des résultats de convergence en loi, pour établir des théorèmes limites pour certaines EDP à coefficients aléatoires ou periodiques. La première partie de ce travail (chapitres 2 et 3) traite d'un exemple de convergence de diffusions soumises à un champ de vitesse turbulent aléatoire qui dépend d'un petit paramètre ε. En établissant leur convergence en loi, et grâce au lien classique entre les EDP et les diffusions, nous retrouvons les lois d’échelles anomales mises en évidence par Avellaneda et Majda pour ce modèle simple de turbulence et nous améliorons les résultats concernant les EDP associées. Ce qui est original c'est de profiter du fait que les diffusions sous-jacentes sont explicites pour d'une part établir la convergence en loi sans utiliser une forme de théorème central-limite et d'autre part identifier la limite. La deuxième partie (chapitres 4 a 6) comporte l’étude de la convergence en loi d'EDSR associées à des EDP paraboliques ou elliptiques semi-linéaires. Là encore, nous profitons du lien existant entre les EDSR et certains types de solutions d'EDP non linéaires pour obtenir des résultats d'homogénéisation pour ces EDP. L’originalité de ce travail, outre le fait qu'il utilise la théorie récente des EDSR, est d'essayer de savoir pour quel type de non-linéarité on peut obtenir des résultats intéressants sans supposer de comportement à priori sur la forme de l’équation limite. L'approche est très naturelle et la méthode employée s'applique à des solutions d'EDP à coefficients aussi bien aléatoires que periodiques. L’idée de ce travail est que l'on peut autoriser dans l'EDP une fonction nonlinéaire de la solution et de son gradient qui soit un polynôme du second degré par rapport au gradient