Bergman Kernels and symplectic reduction / Xiaonan Ma, Weiping Zhang

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Noyaux de Bergman et réduction symplectique
Nous généralisons des résultats récents sur le développement asymptotique du noyau de Bergman au cadre de quantification géométrique, et établissons une propriété d'identification asymptotique symplectique. Plus précisement, nous étudions le développement asymptotique du noyau de Bergman G-invariant de l'opérateur de Dirac spinc associé à une puissance tendant vers l'infini d'un fibré en droites positif sur une variété symplectique compacte munie d'une action hamiltonienne d'un groupe de Lie compact connexe. Nous développons aussi une façon de calculer les coefficients du développement, et nous calculons les premiers termes, en particulier, nous obtenons la courbure scalaire de la réduction symplectique à partir du noyau de Bergman G-invariant sur l'espace total. Ces résultats généralisent les résultats correspondants dans le cas non-équivariant, qui ont joué un rôle crucial dans un travail récent de Donaldson sur la stabilité de variétés projectives, au cadre de quantification géométrique.

Comme application de notre développement, nous établissons aussi des propriétés de type opérateur de Toeplitz en limite semi-classique dans le cadre de quantification géométrique.
Notre méthode est inspirée par la théorie de l'indice local, en particulier les techniques de localisation analytique développées par Bismut-Lebeau.