Coarse expanding conformal dynamics / Peter Haissinsky, Kevin M. Pilgrim

Bibliogr. p. [129]-136. Index

Dynamique dilatante grossièrement conforme
Motivé par la dynamique des fractions rationnelles, on introduit une classe de systèmes dynamiques topologiques qui vérifient des propriétés de régularité topologique, d'expansivité, d'irréductibilité et de finitude. Nous les nommons topologiquement dilatantes et grossièrement conformes(top. CXC). Étant donnée une telle transformation f: X X et un recouvrement de X par des ouverts connexes, on construit un graphe infini hyperbolique au sens de M. Gromov sur lequel f opère naturellement comme une isométrie locale. La dynamique induite sur son bord à l'infini est canoniquement conjuguée à celle de f. Ceci implique que X hérite de métriques pour lesquelles f vérifie le Principe de l'Ascenseur Conforme: des boules arbitrairement petites peuvent être agrandies à une taille macroscopique avec distorsion bornée. Cette propriété est conservée par conjugaison par un homéomorphisme quasisymétrique, et nous appelons les transformations top. CXC définies sur un espace métrique qui la vérifient métriquement dilatantes et grossièrement conformes (CXC). Les résultats suivants approfondissent l'analogie entre groupes kleinéens et fractions rationnelles en l'étendant en des analogies entre dynamiques métriquement CXC et groupes hyperboliques. Nous donnons de nombreux exemples et plusieurs applications. En particulier, nous fournissons une nouvelle interprétation de la caractéristation de fractions rationnelles parmi les transformations topologiques et des exemples de Lattès généralisés parmi les transformations uniformément quasirégulières. En utilisant des techniques qui permettent de construire des mesures quasiconformes pour les groupes hyperboliques, on établit aussi l'existence, l'unicité et des propriétés de régularité métrique de la mesure d'entropie maximale de ces applications. (SMF)