Two-dimensional Markovian holonomy fields / Thierry Lévy

Developing the ideas of quantum field theory into a rigorous mathematical theory has been a major theme in mathematical physics during the last decades. The present volume by Thierry Lévy makes a major contribution in this direction by embedding the classical Yang-Mills measure into a theory of Markovian holonomy fields defining thereby an interesting new class of Markov processes. Starting from classical Markov processes, the author explains carefully how the Markov property can be generalized to processes indexed by compact oriented 1-dimensional Riemannian manifolds. These processes then exhibit a Markovian behavior with respect to the operations of cutting or concatenation of 1-manifolds. This construction then leads naturally to the definition of Markovian holonomy fields. The main text starts with an introductory chapter that collects the necessary notions and results from differential topology and geometry such as topological surfaces, graphs on a surface, Riemannian metrics etc. In the subsequent chapters the author defines discrete and continuous Markovian holonomy fields and proves a first limit theorem that permits to take the continuous limit of a discrete gauge theory. Then links between Markovian holonomy fields and Lévy processes are established. In fact every regular Markovian holonomy field with values in a compact Lie group determines a Lévy process in this group. This extends the classical relation between the Yang-Mills measure and Brownian motion. In the last chapter it is shown that a Markovian holonomy field on a finite Lie group is the monodromy process of a random ramified covering. (Zentralblatt)

Bibliogr. p. [169]-172. Index

Ce travail est consacré à la définition et à l'étude d'une classe de processus stochastiques indexés par des chemins tracés sur une surface, qui prennent leurs valeurs dans un groupe de Lie compact et qui satisfont une propriété d'indépendance conditionnelle analogue à la propriété de Markov. Nous appelons ces processus des champs d'holonomie markoviens bidimensionnels. L'exemple fondamental de cette sorte de processus est le processus canonique sous la mesure de Yang-Mills, qui a été construite d'abord par Ambar Sengupta puis plus tard par l'auteur. C'est aussi le seul champ d'holonomie markovien qui ait été construit avant ce travail. Le processus canonique sous la mesure de Yang-Mills est assez exactement aux champs d'holonomie markoviens ce que le mouvement brownien est aux processus de Lévy. Deux de nos principaux résultats affirment qu'à tout champ d'holonomie markovien suffisamment régulier est associé un processus de Lévy d'une certaine classe sur le groupe de Lie dans lequel il prend ses valeurs et réciproquement que pour tout processus de Lévy dans cette classe il existe un champ d'holonomie markovien auquel il est associé. Dans le cas particulier où le groupe de Lie considéré est un groupe fini, nous parvenons à réaliser ce champ d'holonomie markovien comme la monodromie d'un fibré principal ramifié aléatoire. Ceci nous rapproche de l'interprétation originelle de la mesure de Yang-Mills, issue de la théorie quantique des champs, comme mesure de probabilités sur l'espace des connexions sur un fibré principal. (SMF)