Généralisation d'une méthode de petites simplifications due à Mikhail Gromov et Yann Ollivier en géométrie des groupes / par Rémi Cunéo ; sous la direction de Hamish Short

Bibliogr. p. 155-157

mathématiques 2011 Aix-Marseille 1 Thèse de doctorat

Dans un article publié en 2003, M.Gromov propose une reformulation de la théorie des petites simplifications en géométrie des groupes. Dans cette version, un graphe fini définit une présentation finie de groupe; les générateurs du groupe sont les étiquettes du graphe; les relateurs sont les mots associés aux cycles; les morceaux, mots "courts " qui permettent les petites simplifications dans un groupe, sont des mots qui étiquettent deux chemins distincts du graphe. Cette thèse prend pour point de départ une brève description de cette théorie publiée par Y.Ollivier en 2006. Le concept de groupe de présentation finie à "petites simplifications", développé par R.Lyndon, M.Greendlinger et autres dans les années 60 et 70, est précurseur des groupes hyperboliques de M.Gromov à la fin des années 80, pour lesquels les propriétés combinatoires de la présentation entraînent des propriétés algébriques du groupe. Dans notre travail, nous fondons de manière rigoureuse la théorie des petites simplifications du point de vue des graphes, et développons le concept de base de "mégatuiles", utilisé implicitement par Y.Ollivier dans son article. Nous étendons ses résultats aux cas non-hyperboliques et non-métriques (par exemple C(4)-T(4)). Ce point de vue permet une nouvelle preuve, plus naturelle, de la résolubilité des problèmes du mot et de conjugaison pour les présentations des groupes des entrelacs alternés premiers. Nous prolongeons également les résultats d'un théorème de M.Greendlinger au cas non-métrique, répondant ainsi à une question d'I.Kapovich

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