A quasi-linear Birkhoff normal forms method : application to the quasi-linear Klein-Gordon equation on S1 / J.-M. Delort

Bibliogr. p. 111-112. Index

Considérons une équation de Klein-Gordon non-linéaire sur le cercle unité, à données régulières de taille ∈ → 0. Appelons solution presque globale toute solution u, qui se prolonge pour tout k ∈ sur un intervalle de temps ] - ck∈ -k, ck∈ -k[, pour un certain ck > 0 et 0 < ∈ < ∈k. Il est connu que de telles solutions existent, et restent uniformément bornées dans des espaces de Sobolev d'ordre élevé, lorsque la non-linéarité de l'équation est un polynôme en u nul à l'ordre 2 à l'origine, et lorsque le paramètre de masse de l'équation reste en dehors d'un sous-ensemble de mesure nulle de *+. Le but de cet article est d'étendre ce résultat à des non-linéarités quasi-linéaires Hamiltoniennes générales. Il s'agit en effet des seules non-linéarités Hamiltoniennes qui puissent dépendre non seulement de u, mais aussi de sa dérivée en espace. Nous devons, pour obtenir le théorème principal, développer une méthode de formes normales de Birkhoff pour des équations quasi-linéaires (Source : SMF)