Processus d'exploration, arbres binaires aléatoires avec ou sans interaction et théorème de Ray Knight généralisé / Mamadou Ba ; sous la direction d'Etienne Pardoux

Bibliogr. p. 115

Thèse de doctorat mathématiques 2012 Aix-Marseille

Dans cette thèse, on étudie des liens entre processus d'exploration et arbres aléatoires avec ou sans interaction, pour en déduire des extensions du théorème de Ray Knight.
Dans la première partie nous décrivons une certaine bijection entre l'ensemble des processus d'exploration et l'ensemble des arbres binaires. On montre que l'arbre associé à un processus d'exploration défini avec les paramètres λ et µ décrivant les taux de ses minimas et maximas locaux respectivement à n'importe quel instant considéré, est un arbre binaire aléatoire de taux de naissance µ et de taux de mort λ. De cette correspondance, nous déduisons une représentation discrète d'un processus de branchement linéaire en terme de temps local d'un processus d'exploration. Après renormalisation des paramètres, nous en déduisons une preuve du théorème de Ray Knight généralisé donnant une représentation en loi d'un processus de Feller linéaire en terme du temps local du mouvement brownien réfléchi en zéro avec une dérive. Dans la deuxième partie, nous considérons un modèle de population avec compétition définie par une fonction polynomiale f(x)=xα, et partant de m ancêtres à l'instant initial 0. On étudie l'effet de la compétition sur la hauteur et la longueur de la forêt d'arbres généalogiques quand m tend vers l'infini. On montre que la hauteur est d'espérance finie si α >1, et est infinie dans le cas contraire, tandis que la longueur est d'espérance finie si α > 2, et est infinie dans le cas contraire. Dans la dernière partie, on définit un modèle discret de population avec interaction définie par une fonction générale non linéaire f. On fait une renormalisation adéquate du modèle discret pour obtenir en limite une diffusion de Feller générale solution de l'équation différentielle stochastique dZxt=f(Zxt)dt+2√ZxtdWt, Zx0=x. Ensuite on donne une représentation à la Ray Knight du processus Zx en terme du temps local du brownien réfléchi avec une dérive dépendant de f'/2