Nombre de points rationnels des courbes singulières sur les corps finis / Annamaria Iezzi ; Sous la direction d'Yves Aubry

Bibliogr. p. 69-72

Thèse de doctorat mathématiques 2016 Université Aix-Marseille

On s'intéresse, dans cette thèse, à des questions concernant le nombre maximum de points rationnels d'une courbe singulière définie sur un corps fini, sujet qui, depuis Weil, a été amplement abordé dans le cas lisse. Cette étude se déroule en deux temps. Tout d'abord on présente une construction de courbes singulières de genres et corps de base donnés, possédant un grand nombre de points rationnels : cette construction, qui repose sur des notions et outils de géométrie algébrique et d'algèbre commutative, permet de construire, en partant d'une courbe lisse X, une courbe à singularités X', de telle sorte que X soit la normalisée de X', et que les singularités ajoutées soient rationnelles sur le corps de base et de degré de singularité prescrit. Ensuite, en utilisant une approche euclidienne, on prouve une nouvelle borne sur le nombre de points fermés de degré deux d'une courbe lisse définie sur un corps fini. La combinaison de ces résultats, à priori indépendants, permet notamment d'étudier le problème de savoir quand la borne d'Aubry-Perret, analogue de la borne de Weil dans le cas singulier, est atteinte. Cela nous amène de façon naturelle à l'étude des propriétés des courbes maximales et, lorsque la cardinalité du corps de base est un carré, à l'analyse du spectre des genres de ces dernières