Lectures on elliptic methods for hybrid inverse problems / Giovanni S. Alberti, Yves Capdeboscq

Ce cours a été effectué dans le cadre du Prix de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris

Bibliogr. p. [203]-223. Index

Récemment plusieurs nouvelles modalités d’imagerie ont été développées afin de permettre la détection de paramètres physiques avec une haute résolution spatiale et une forte sensibilité au contraste, simultanément. Ces nouvelles approches proviennent typiquement de l'interaction entre deux méthodes d’imagerie physique, et les modèles mathématiques correspondants sont appelés des problèmes inverses hybrides, ou multi-physiques. L’association de deux modalités physiques pose de nouveaux défis mathématiques, et l’analyse de cette nouvelle classe de problèmes inverses requiert l’utilisation d’outils mathématiques variés, souvent intéressant en eux-mêmes. L’objet de ce livre est de fournir un premier cours complet sur certains de ces outils (principalement issus des équations aux dérivées partielles elliptiques) et de leurs applications aux problèmes inverses hybrides. Sur certains sujets, tels que l’observabilité de l’équation des ondes, l’extension du Théorème de Radó-Kneser-Choquet à l’équation de conduction, les solutions de l’optique géométrique complexes et la propriété d’approximation de Runge, nous passons en revue des résultats bien connus. Ces éléments sont présentés dans une perspective clairement orientée vers les applications aux problèmes inverses voulues. Pour d’autre sujets, comprenant la théorie de la régularité et l’étude de perturbations de faible volume pour les équations de Maxwell, les estimations de dispersion pour l’équation de Helmholtz et l’étude de contraintes de non nullité pour les solutions de certaines EDP, nous présentons plusieurs résultats nouveaux. Nous montrons alors comment tous ces outils peuvent êtres appliqués à l’analyse de la reconstruction de paramètres de certains problèmes inverses hybrides : la tomographie acousto-électrique, l’imagerie d’impedance par densité de courant, l’élastographie Dynamique, la tomographie Thermoacoutisque et Photoacoustique.