Calculus in vector spaces without norm / A. Frolicher, W. Bucher

Bibliogr. p. 146. Index

Depuis une dizaine d'années, on sent de plus en plus le besoin d'une théorie de "variétés différentielles'' de dimension infinie dans de nombreuses questions d'analyse, telles que l'étude des singularités "génériques'' des applications différentiables (Thom) ou celle des champs de vecteurs sur les variétés différentielles (usuelles) (Smale, Arnold). L'extension de la théorie classique ne présente pas de difficulté sérieuse lorsque les "cartes'' de la variété ont pour espace "modèle'' un espace de Banach; par contre, le développement du calcul différentiel dans des espaces vectoriels topologiques plus généraux (déjà dans les espaces de Fréchet) se heurte à de sérieux obstacles, notamment lorsqu'il s'agit des dérivées d'ordre supérieur, qui sont des dérivées de fonctions prenant leurs valeurs dans des espaces de type L(E;F) (espaces d'applications linéaires continues) car il faut munir des espaces de topologies, qui n'ont pas les propriétés requises pour obtenir une définition raisonnable. Les auteurs proposent de tourner ces obstacles en abandonnant l'hypothèse qu'il s'agit d'espaces vectoriels topologiques, et en considérant à leur place des espaces vectoriels munis de "pseudotopologies'' (i.e. des structures où on se donne les "filtres convergents'', mais où ces filtres ne sont pas nécessairement les filtres convergents d'une topologie). Ils imposent en outre à ces pseudo-topologies des conditions trop techniques pour être détaillées ici, mais qui permettent de définir de façon naturelle des pseudo-topologies utilisables sur L(E;F). Les auteurs parviennent alors, pour les espaces "pseudo-topologiques'' qu'ils considèrent, à développer sur le modèle classique un calcul différentiel où ne manquent qu'un théorème des fonctions implicites et une théorie des équations différentielles. Comme ils le soulignent eux-mêmes, la valeur d'une telle théorie ne pourra être jugée qu'en fonction de ses applications possibles aux problèmes mentionnés au début; mais les auteurs ne mentionnent pour le moment aucune application de ce genre (MathSciNet)