Tomographie des variétés singulières et théorèmes de Lefschetz / par Christophe Eyral ; sous la direction de Denis Cheniot

Thèse de doctorat mathématiques 1997 Aix-Marseille 1

Il est classique d’étudier la topologie d'un objet de géométrie algébrique par tomographie, c'est-a-dire en considérant ses sections par des hyperplans parallèles. Le travail que nous proposons dans la thèse est une étude par tomographie des sous-variétés algébriques de l'espace projectif complexe. Nous examinons d'abord le cas simplifie du complémentaire d'un ensemble algébrique projectif. Nous considérons ses sections par les hyperplans d'un pinceau. Nous comparons les groupes d'homotopie de ce complémentaire avec ceux d'une de ses sections hyperplans génériques, sur la base de comparaisons (axe du pinceau - hyperplan générique) et (axe - hyperplans exceptionnels du pinceau). Notre théorème peut servir de base a des raisonnements par récurrence sur la dimension de l'ensemble algébrique dont on considère le complémentaire. Par exemple, une récurrence amorcée par un calcul direct explicite dans le cas ou cette dimension est nulle permet de retrouver le théorème de Zariski-Lefschetz homotopique classique. Nous étudions ensuite le cas général des variétés quasi-projectives singulières. Nous démontrons un théorème sur les pinceaux de sections hyperplanes de la variété analogue a celui du cas d'un complémentaire, mais avec des restrictions reliées a la profondeur homotopique rectifiée globale, de la variété (analogue global de la notion de profondeur homotopique rectifiée de Grothendieck). Toutefois, cette restriction ne porte que sur la profondeur homotopique rectifiée globale le long d'un certain ensemble fini de points. Puis, par une récurrence amorcée par un calcul direct explicite dans le cas ou la dimension de l'espace projectif ambiant est 1, nous démontrons, grâce à ce résultat, un nouveau théorème du type de Lefschetz singulier, généralisant le théorème de Lefschetz singulier de Hamm-Le et Goresky-Macpherson