Formules explicites et nombre de points des courbes sur les corps finis : le théorème d'Oesterlé / par Antoine Edouard ; sous la direction de Gilles Lachaud

Bibliogr. en fin de volume

Thèse de doctorat mathématiques pures 1998 Aix-Marseille 2

En analyse indéterminée, les équations de congruence définies par les courbes algébriques sur un corps fini, étudiées depuis Diophante d'Alexandrie, sont maintenant utilisées systématiquement dans le traitement de l'information. A. Weil a donné une formule fondamentale pour le nombre de points de ces courbes, qui permet de majorer ce nombre en fonction de leur genre, un entier mesurant sa complexité. On peut préciser les résultats de Weil afin d'obtenir des inégalités plus fines, comme l'ont montré S. Vlăduţ, V. Drinfiel'd et J.-P. Serre. On obtient une famille infinie d'identités, les formules explicites, qui sont analogues à celles introduites en Théorie des Nombres. On peut alors se poser la question de la recherche des inégalités optimales. L'objet de cette thèse est de donner des démonstrations complètes de la solution explicite de cette question. Cette solution a été donnée par J. Oesterlé, mais il n'a pas publié les démonstrations de ses résultats. On traduit d'abord cette question en un problème d'optimisation en analyse fonctionnelle, en utilisant des espaces de mesures et de séries de Fourier sur le cercle unité. La recherche de la borne optimale revient alors à un problème de programmation linéaire. Ensuite pour la recherche des solutions admissibles, on est conduit à introduire de nouvelles approximations de l'unité, les noyaux de Féjer déployés. Il faut enfin vérifier que les inégalités obtenues à partir de ces noyaux sont bien optimales, ce qui est le cas (sauf quelquefois en caractéristique 2). Pour terminer, on fournit des tableaux de bornes optimales pour de petites valeurs du genre de la courbe et du nombre d'éléments du corps