Division et multiplication modulaire en représentation modulaire / par Laurent-Stéphane Didier ; sous la direction de Jean-Claude Bajard

Bibliogr. f. 99-105

Thèse de doctorat mathématiques - informatique 1998 Aix-Marseille 1

La représentation modulaire permet de substituer les calculs sur de très grands nombres par des opérations sur de petites valeurs pour la détermination de l'addition et de la multiplication. Ces opérations peuvent être effectuées très rapidement en parallèle. Toutefois la division et la multiplication modulaire sont plus difficiles à réaliser. Nous présentons un état de l'art sur la représentation modulaire où nous abordons différentes méthodes de conversion et leurs implémentations. Nous traiterons également de diverses architectures proposées dans la littérature scientifique pour le calcul des additions et multiplications dans cette représentation. La division que nous proposons permet de calculer le quotient de deux nombres en représentation modulaire avec une complexité en temps de O(n log n) et une complexité en espace de O(n). Elle a un coût similaire à celui des divisions dans des représentations à numération de position (SRT, division restaurante). Cette avancée permet de relancer l'intérêt de la représentation modulaire pour effectuer des calculs rapides. La multiplication modulaire en représentation modulaire proposée reprend les principes de la multiplication de Montgomery dont les complexités en temps et en espace sont comparables. Nous montrons que la représentation modulaire et notre multiplication modulaire peuvent être utilisée sans conversion à des fins cryptographiques avec certains avantages sur les représentations redondantes. Ces algorithmes rendent possible l'emploi de cette arithmétique dans un grand nombre d'applications