Techniques d'homogénéisation pour la modélisation de piles à combustibles / Philippe Batoux ; sous la direction de Raphaèle Herbin

Bibliogr. p. 151-152

Thèse de doctorat mathématiques appliquées 1997 Aix-Marseille 1

L'objectif de cette thèse est d'étudier la pertinence des techniques d'homogénéisation pour l'élaboration d'un modèle de pile à combustible. Une pile à combustible génère du courant électrique par des réactions complexes d'oxydo-réduction. Chaque pile est constituée de centaines de «cellules élémentaires» identiques perforées par des conduites à l'intérieur desquelles circulent les gaz oxydant et réducteur. Les phénomènes thermiques sont modélisés par l'équation de la chaleur sur l'ensemble de la pile, les conditions de Fourier (*) sur les bords des conduites imposent le flux de chaleur au travers des conduites en fonction de la température. Une équation de diffusion avec des conditions aux limites de Neumann homogènes modélise les phénomènes électriques. Un modèle de la cellule élémentaire a déjà été élaboré et implanté numériquement. Cependant, il est très coûteux en temps calcul et en espace mémoire de modéliser la pile entière à l'échelle de chaque cellule ; c'est pourquoi on cherche à obtenir un modèle à une échelle plus grande, celle de la pile, par le biais des techniques d'homogénéisation. Un premier modèle des phénomènes thermiques au sein de la pile nous amène à l'étude du comportement des solutions de problèmes elliptiques linéaires définis sur un ouvert perforé périodiquement lorsque le nombre de trous tend vers l'infini. On traite ici des conditions aux limites de Fourier sur le bord des trous : −λε⊇τε.n + α/ε(τε − Xε) = 0 (*) ε est la taille d'une cellule, τε désigne la température et λε la conductivité thermique, Xε est la température à l'intérieur des conduites, elle vérifie: |Xε|H1 = O(1/ε). Contrairement aux travaux précédents, on ne suppose pas ici la fonction Xε périodique, car physiquement, la température varie dans les conduites. Un calcul simple montre que τε n'est pas bornée dans H1 indépendamment de ε : lim ε→0 |τε|H1 = ∞. On arrive cependant à estimer l'erreur |τε − τ0 (., $ε)|L2 où τ0 est une fonction qu'on peut calculer simplement, et qui représente le premier terme d'un développement asymptotique formel de τε en ε. Dans une seconde partie nous montrons l'existence d'une solution au système modélisant le couplage entre les phénomènes électriques et thermiques. Ce couplage nous amène en particulier à étudier des équations elliptiques à donnée L1. Ce travail généralise au cas des conditions de Fourier un résultat existant avec des conditions de Dirichlet. Puis nous étudions l'homogénéisation de ce système en supposant que les conductivités thermique et électrique sont indépendantes de la température