Algorithmes à base d'ondelettes et résolution numérique de problèmes elliptiques à coefficients variables / par Saiida Lazaar ; sous la direction de Jacques Liandrat

Bibliogr. f. 151-152

Thèse de doctorat mathématiques appliquées 1995 Aix-Marseille 1

Le travail effectué dans cette thèse consiste en la définition et l'implémentation d'algorithmes rapides à base d'ondelettes pour approcher l'inverse d'opérateurs elliptiques à coefficients variables, associés à une forme sesquilinéaire, continue et coercive, de type I - div(A⊇) où A est lipschitzienne. Le schéma utilisé pour calculer l'inverse explicite de ce type d'opérateurs repose sur d'importantes propriétés de localisation et d'oscillation des ondelettes. Ces dernières permettent d'utiliser une notion de paraproduit, qui consiste à approcher localement l'opérateur à coefficients variables par un autre à coefficients constants. Ceci donne alors naissance à une sorte de parametrix, qui joue le rôle de préconditionneur. La convergence de ce schéma est assurée par la continuité de cette parametrix et par le fait que l'action de cette parametrix sur les ondelettes produit des fonctions semblables aux ondelettes, appelées vaguelettes. Ce schéma est divisé en deux étapes. La première produit une estimation de l'inverse de l'opérateur à partir «d'une approximation grossière» donnée par une méthode de Galerkin, superposée à une «approximation de détails», obtenue dans une base d'ondelettes d'échelles suffisamment petites, grâce à la parametrix. La deuxième étape est un raffinement itératif de cette approximation, réalisé par une méthode classique de correction de résidu. Nous présentons des résultats numériques en dimension 1 et 2 pour différents types de A ainsi qu'une étude détaillée de la complexité et de la précision