Contribution à l'étude dynamique de translations par intervalles / par Maria Doudékova-Puydebois ; sous la direction de Pierre Liardet

Bibliogr. f. 99-103

Thèse de doctorat mathématiques 1999 Aix-Marseille 1

À l'aide de la méthode géométrique du couper-empiler, tout système dynamique sur un espace de Lebesgue peut être représenté, de façon isomorphe, par une translation par intervalles sur [0,1[. Dans ce travail, les constructions générales de ces transformations sont détaillées, ainsi que leur propriétés métriques et spectrales. En particulier, un critère de disjonction spectrale de deux systèmes est exhibé et appliqué. L'unique ergodicité des translations par intervalles de rang un est établie, avec une hypothèse naturelle sur l'empilement. L'équirépartition des orbites des points de [0,1[ est démontrée à l'aide d'une nouvelle majoration de la discrépance. Le couper-empiler est ensuite mis en œuvre pour décrire en détails les translations par intervalles reliées aux substitutions ou encore à la numération. D'une part, tout système sur [0,1[, défini par une substitution dite «adaptée», se décompose en un nombre fini de composantes ergodiques, égal à la période des lettres expansives ; de plus, une caractérisation de l'unique ergodicité est établie. D'autre part, il est montré que l'odomètre provenant de l'échelle (qn+1 − 1)/(q − 1), est métriquement isomorphe à une translation par intervalles de rang un ; elle est faiblement mélangeante, non fortement mélangeante. L'ergodicité de certains produits croisés, associés à la somme des chiffres, est établie et leurs types spectraux sont décrits en termes de produits de Riesz généralisés. Des exemples, incluant les substitutions de Morse et de Rudin-Shapiro, l'odomètre q-adique ou encore la transformation de Chacon, illustrent cette étude et les différentes constructions