Une méthode particulaire stochastique à poids aléatoires pour l'approximation de solutions statistiques d'équations de McKean-Vlasov-Fokker-Planck / Olivier Vaillant ; sous la direction de Denis Talay

Bibliogr. p. 151-153

Thèse de doctorat mathématiques appliquées 2000 université de Provence

Les équations aux dérivées partielles (E.D.P.) à condition initiale aléatoire interviennent dans la modélisation de certains phénomènes physiques complexes tels que la turbulence. La caractérisation de la loi des solutions, ou solution statistique, a fait l'objet de nombreux travaux théoriques. Toutefois, il est souvent difficile d'estimer la précision des méthodes usuelles de simulation des solutions moyennes de l'E.D.P, ou moments de la solution statistique. Cette thèse est constituée de deux parties : nous commençons par présenter la théorie des solutions statistiques, en particulier dans le cas de l'équation du tourbillon d'un fluide incompressible dans le plan. Cet exemple nous amène à considérer, dans la seconde partie de ce mémoire, le problème modèle d'une équation de McKean-Vlasov à condition initiale aléatoire. En supposant que les coefficients de l'équation sont lipschitziens et bornés, nous montrons qu'elle admet une unique solution statistique dont les moments peuvent être représentés à l'aide d'un processus de diffusion non linéaire. Nous déduisons de cette interprétation une méthode particulaire stochastique pour la simulation des moments. Son originalité est que les poids d'interaction entre les particules sont des variables aléatoires, définies à partir d'estimateurs non paramétriques d'une fonction de régression. Enfin, nous étudions la vitesse de convergence (théorique et numérique) de la méthode pour différentes familles de poids.