Surfaces d'inoue-hirzebruch, feuilletages sur les surfaces de classe VII, et problème de Serre / Dan Zaffran ; sous la direction de Karl Oeljeklaus

Bibliogr. p. 57-58

Thèse de doctorat mathématiques 2000 université de Provence

1. «Surfaces d'Inoue-Hirzebruch». Dans son étude des surfaces modulaires de Hilbert, Hirzebruch considère certains quotients du bidisque de C2, donnant des espaces complexes singuliers dont la résolution minimale sera appelée cusp. Les surfaces d'Inoue-Hirzebruch (sIH) sont des surfaces complexes compactes de la classe VII0 (i.e. minimales et de premier nombre de Betti b1 égal à 1), obtenues par recollement de deux cusps. On montre que contrairement à ce qui semblait admis, il n'y a pas un, mais deux recollements des cusps, donnant en général deux sIH distinctes. Ceci infirme une conjecture de Nakamura. On définit une involution sur l'ensemble des sIH qui consiste à «changer de recollement». Les points fixes de cette involution ont une symétrie que nous relions à d'autres types de symétries déjà connus. 2. «Feuilletages sur les surfaces de classe VII». (travail commun avec K. Oeljeklaus et M. Toma). La classification des surfaces est incomplète : les surfaces «à coquille sphérique globale» sont des éléments de la classe VII0 à b2 > 0, mais on ne sait pas s'il en existe d'autres. On montre qu'une surface de classe VII0 à b2 > 0 admettant deux champs de vecteurs tordus est une sIH. Plus généralement nous conjecturons qu'une surface de classe VII0 à b2 > 0 admettant deux feuilletages est une sIH. 3. «Problème de Serre». Les fibrés de Cœuré et Lœb sont des contre-exemples au «problème de Serre-Siu» : ils ont une base Stein, leur fibre est un domaine borné Stein, mais leur espace total n'est pas Stein. On décrit une famille de fibrés contenant leurs exemples, dont chaque membre E est construit à partir d'un cusp. On peut ajouter à la fibre de E une chaîne infinie de courbes rationnelles, de manière équivariante, et obtenir un «sur-fibré» Ê. L'étude de Ê montre que Ê est une extension holomorphe de E. On obtient aussi un résultat sur la croissance des fonctions holomorphes sur C. On montre que E n'admet pas d'enveloppe d'holomorphie de Stein.