Analyticité et algébricité d'applications de Cauchy-Riemann / par Sylvain Damour ; sous la direction de Bernard Coupet

Bibliogr. p. 97-102. Index

Thèse de doctorat mathématiques 2001 Aix-Marseille 1

Le travail présenté dans cette thèse concerne l'analyticité et l'algébricité d'applications de Cauchy-Riemann (CR) de classe C∞ entre variétés CR analytiques ou algébriques réelles. Ce sujet a trait aux propriétés de prolongement d'applications et a récemment connu un regain d'activité. Notre contribution porte principalement sur l'étude du cas non équidimensionnel et sur le passage à la codimension supérieure à un. Dans la première partie de la thèse, nous considérons la question de l'algébricité d'une application holomorphe locale ƒ envoyant une sous-variété algébrique réelle générique minimale M ⊂ Cn, n>1, dans un sous-ensemble algébrique réel M' ⊂ Cn'. Ce problème a pour origine les travaux de Poincaré (1907), et plus récemment de Webster (1977). L'introduction de "variétés caractéristiques" associées à la fois aux ensembles M et M' et à l'application ƒ nous permet de donner deux nouvelles conditions pour que ƒ soit algébrique. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions le problème de l'analyticité d'une application CR C∞ ƒ : M -> M' entre une sous-variété analytique réelle générique minimale M ⊂ Cn, n>1, et un sous-ensemble analytique réel M' ⊂ Cn'. Nous établissons une généralisation du principe de réflexion de Lewy-Pinchuk (1975-77) et prouvons que si la variété caractéristique est de dimension zéro, ƒ est analytique réelle. Dans la troisième partie de la thèse, nous traitons la situation plus générale où la variété caractéristique est de dimension arbitraire. Nous démontrons que si M' ne contient pas de courbe complexe, ƒ est analytique sur un ouvert dense de M. Plus généralement, nous établissons une estimation supérieure de l'analyticité partielle de ƒ, en fonction de la dimension maximale des feuilletages holomorphes locaux contenus dans M'