Calcul des variations stochastiques sur l'espace de Poisson, applications à des E.D.P.S. paraboliques avec sauts et à certaines équations de Boltzmann / par Nicolas Fournier ; sous la direction de Sylvie Méléard

Bibliogr. p. 217-219

Thèse de doctorat mathématiques 1999 Paris 6

Nous nous intéressons au calcul des variations stochastiques pour des processus de saut, à ses applications aux équations aux dérivées partielles stochastiques paraboliques (E.D.P.S.) avec sauts d'une part, et aux équations de Boltzmann spatialement homogènes sans cutoff pour des molécules maxwelliennes d'autre part. Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à une E.D.P.S., conduite par un bruit blanc gaussien espace-temps, et par une mesure de Poisson compensée. Nous prouvons un résultat d'existence et d'unicité, puis nous étudions l'absolue continuité de la loi de la solution par rapport à la mesure de Lebesgue. Le deuxième Chapitre constitue en quelque sorte un «sous-produit» du premier : nous appliquons ses méthodes pour résoudre les mêmes questions concernant l'équation de Volterra stochastique avec sauts. Dans le troisième Chapitre, nous nous intéressons à une E.D.P.S. conduite par un bruit blanc gaussien espace-temps, et par une mesure de Poisson finie. Nous caractérisons le support de la loi de sa solution dans un espace de Skorokhod. Dans le quatrième Chapitre, nous utilisons le calcul des variations stochastiques sur l'espace de Poisson, afin de prouver l'existence d'une solution régulière d'une équation de Boltzmann en dimension 2. Nous établissons un critère de stricte positivité de la densité pour des solutions d'E.D.S. avec sauts dans le cinquième Chapitre. Ceci nous permet de prouver la stricte positivité de la solution d'une équation de Kac («caricature» unidimensionnelle de l'équation de Boltzmann) dans le Chapitre 6