Décomposition des semi-distances de type L1 : application à une analyse en composantes principales en norme L1 / Mohammed Benayade ; sous la direction de Bernard Fichet

Bibliogr. p. 188-197

Thèse de doctorat mathématiques appliquées 1995 Aix-Marseille 1

L'objet de cette thèse est d'étudier les décompositions des semi-distances de type L1 en fonctions des dichotomies et de proposer une Analyse en composantes Principales (A.C.P.) en norme L1. Le premier chapitre est une synthèse des travaux sur les distances de type L1. Il rassemble des travaux très variés sur ce sujet appartenant à des domaines tels que la théorie des graphes, le codage, la statistique mathématique ou l'analyse de données. Ainsi, après avoir caractérisé les semi-distances de type L1 comme étant les éléments d'un cône polyédrique noté D1, on fait le lien avec les mesures de différences symétriques, les matrices réalisables en {0,1} et les espaces hypermétrique. L'étude de certaines facettes du cône D1 termine cette partie. Dans le deuxième chapitre, nous étudions les problèmes posés par la décomposition des distances de type L1 en fonctions des dichotomies. Après avoir démontré que toute décomposition est une combinaison convexe de certaines décompositions dites minimales, nous avons démontré certains résultats sur l'unicité de la décomposition. En outre, nous avons trouvé de nouvelles faces simpliciales de D1 ou plus généralement du cône des semi-distances. Dans le dernier chapitre nous nous sommes servis des résultats précédents pour définir une A.C.P. en norme L1 qui généralise l'A.C.P. classique en norme L2. Elle consiste à l'optimisation d'une fonction convexe sur un polytope. Ce chapitre se termine par la donnée d'un algorithme permettant de trouver la solution d'A.C.P. en norme L1