Agrégation limitée par diffusion interne et temps de coupure sur les groupes discrets à croissance polynomiale / par Sébastien Blachère ; sous la direction de Laurent Saloff Coste

Thèse de doctorat probabilités 2000 Toulouse 3

Cette thèse traite de certains aspects des marches aléatoires sur les groupes à croissance polynomiale. Tout d'abord, nous étudions un modèle de croissance, appelé «Agrégation Limitée par Diffusion Interne», défini sur un graphe connexe associé à une marche aléatoire. Nous dégageons des résultats d'existence d'une forme limite et de fluctuations autour de cette forme, lorsque le modèle est associé à une marche aléatoire sur un groupe finiment engendré. Sur Zd, nous étendons des résultats connus pour la marche aléatoire simple, tandis que sur les groupes quelconques à croissance polynomiale, nous considérons des marches aléatoires symétriques. Enfin, nous étudions ce modèle sur les groupes libres, pour la marche aléatoire simple. Puis, nous démontrons une propriété topologique des sphères des groupes à croissance polynomiale, appelée «connexité relative». De ce résultat, nous déduisons un contrôle du comportement asymptotique des fonctions harmoniques hors d'un ensemble fini. De plus, nous étendons aux anneaux des inégalités fonctionnelles existant sur les boules (Harnack, Poincaré). Enfin, nous étudions l'occurrence des «temps de coupure» d'une marche aléatoire, instants pour lesquels le passé et le futur de la marche aléatoire forment deux chemins disjoints. Ce phénomène a été étudié de façon exhaustive sur Zd, et nous complétons les résultats existant sur les groupes à croissance polynomiale en étudiant le cas où la croissance est de degré 4