Homogénéisation de problèmes elliptiques avec effets non locaux / Michel Bellieud ; sous la direction de Guy Bouchitte

Bibliogr. p. 126-127

Thèse de doctorat mathématiques appliquées 1997 Toulon

La première partie généralise la Formule de Deny-Beurling à une classe de fonctionnelles quadratiques vectorielles stable pour l'épiconvergence. La seconde partie resoud l'homogénéisation du problème elliptique de conduction dans un milieu fortement hétérogène comportant des fibres unidirectionnelles de grande conductivité. Ce cas sort du cadre classique car la conductivité n'est pas supposée équi-intégrable. L'équation homogénéisée est un système couplé d'équations différentielles dans lequel apparaît une nouvelle variable v décrivant le comportement limite moyen de la température sur les fibres. Dans le cas linéaire, l'élimination de v dans l'énergie limite conduit à une forme de Dirichlet classique comportant un terme non local et un terme étrange non nuls. Ces résultats sont étendus au cas où chaque fibre est elle-même constituée de plusieurs fibres coaxiales de conductivités croissantes, au cas où les fibres sont distribuées dans plusieurs directions et au cas où la conductivité tend vers zéro dans la matrice (milieu entourant les fibres) et vers l'infini sur les fibres, avec dans chaque cas obtention d'une équation limite non locale où la non localité est caractérisée par l'apparition de variables auxiliaires. Le cas où la conductivité tend vers zéro dans la matrice en restant finie dans les fibres (le volume moyen des fibres ne tend plus alors vers zéro) est également résolu grâce à une technique de convergence à deux échelles. La dernière partie traite du cas stratifié où les coefficients de conductivité ne dépendent que d'une variable. Elle met en évidence la non localité de l'énergie limite lorsque des concentrations de matériaux de forte conductivité et de faible conductivité apparaissent au même endroit