Etude de certains problèmes non linéaires / Alexis Monier ; sous la direction de Thierry Gallouet

Bibliogr. p. 143-146

Thèse de doctorat mathématiques appliquées 2002 université de Provence, Aix-Marseille I

Le sujet : deux questions ouvertes sont les fils conducteurs de cette thèse. La première concerne un modèle d'écoulement diphasique en milieu poreux, du type eau-huile, très étudié en ingénierie pétrolière, mais pour lequel il n'existe pas de théorème d'existence de solution faible.
La deuxième question est la résolution du système de Navier-Stokes avec second membre mesure.

Ces deux questions sont évidemment très difficiles et mon travail a surtout consisté à explorer les différentes méthodes développées récemment pouvant fournir des élements de réponses.

Modèles d'écoulement diphasique en milieu poreux
La plus grande partie du travail présenté concerne ce thème (3 chapitres sur 4). Les principales questions que j'ai étudiées sont

modélisation des termes sources à l'aide de mesures (et non de fonctions régulières).
Ce problème se justifie en ingénierie pétrolière : la taille des puits de forage est d'environ 10cm, très inférieure à la taille du réservoir (une centaine de kilomètre) ou même à celle des mailles utilisées pour la simulation de réservoir (de 10 à 100m), nous amène à les modéliser à l'aide de mesures.
Démontrer l'existence d'une solution faible au système cité plus haut, modélisant un écoulement diphasique en tenant compte des termes de gravité mais en négligeant les effets des forces capillaires et de diffusion.
Technique d'homogénéisation pour ces systèmes.
L'originalité du travail consiste à prendre le modèle cité en 1) (termes sources mesures).


Les problèmes d'écoulements utilisent plutôt des conditions limites "naturelles" du type Neumann. La première partie de mon travail a donc consisté à généraliser des résultats existents à un grand nombre de conditions limites, en particulier, le Théorème de régularité de Meyers. Ce travail a fait l'objet d'un article, présenté dans le chapitre 1 de la thèse.

Les différents théorèmes d'existence pour les systèmes modélisants des écoulements diphasiques en milieu poreux avec termes sources mesures sont regroupés dans le chapitre 2. On montre également que les outils actuels ne permettent pas de répondre à la question 2).

Le chapitre 3 est consacré à l'homogénéisation pour un grand nombre de problèmes, c'est-à-dire pour des équations paraboliques
dégénérées, pour des problèmes de Neumann avec second membre mesure et enfin les systèmes introduits dans le chapitre 2 modélisant
des écoulements diphasiques en milieu poreux avec termes sources mesures.

Stokes mesure
Le dernier travail est consacré au système de Stokes avec second membre mesure. La formulation obtenue permet d'avoir l'existence et l'unicité à ce problème. La question sur Navier-Stokes reste ouverte...